problemabhängig: Ursprung sinnvoll platziert
Achsen linear unabhängig (logischerweise)
lineare Räume: Fester Ursprung/Achsen
lineare Operationen erhalten die Null (Abgeschlossenheit)
Affine Räume gegenüber affinen Operationen abgeschlossen
Ziel: Verschiebung er Koordinatensysteme (Translation)
Punktprimitiv am häufigsten in Partikelsystemen
Tesselierung: Überführung von Körperoberflächen in Polygonkonstrukte
verschiedene Modelle: erst ab 5-8 merkt der Mensch die Wiederholung nicht mehr
isotrop: Proportionen bleiben erhalten
Translation → nicht linear
wenn Summe der lamda = 1 → Affinkombination (bei Linearkombination von Vektoren)
baryzentrische Koordinaten → Skalare der affinen Kombination
Konvexkombination von Punkten in der konvexen Hülle → auch in Hülle
baryzentrische Koordinaten größergleich Null
Egal ob:
Erst Transformation der Punkte, dann Gerade durch
Erst Gerade, dann Transformation
Lineare Abbildung (Matrix) = multiplikativer Teil, Translation (Vektor) = additiver Teil
lineare Abbildung: Skalierung, Scherung, Rotation
Erweiterung: Abbildung und Translation in eine 4×4 Matrix
Hintereinanderausführung → Matrizenmultiplikation
zu beachten: Reihenolge (A_n * … * A_2 * A_1 * p)
Vorteil: Transformationen lassen sich akkumulieren
Linke obere 3×3 Untermatrix: linearer Teil, rechte Spalte: Translation
Homogene Form: rechts unten 1
Bilder der Einheitsvektoren in Spalten (Folie 26)
Dadurch Herleitung einfach, da jede lineare Abbildung auch Basisvektoren beeinflusst
Skalierung: Skalierfaktoren auf Diagonale
w → zur Homogenisierung
Scherung = Verzerrung
isotrope Skalierung: s auf Diagonale, rechts unten → 1/s
Scherung: Folie 31
Rotation: Folie 33
Rotation um beliebige Achse: sozusagen custom Koordinatensystem durch Achse induziert, wird auf Ursprungssystem rotiert, dann passiert “gewünsche Rotation”, dann wieder zurück rotiert
Rotation um beliebigen Punkt: Erst Translation, dann Rotation